PESQUISA

Pesquisa do ramo da matemática conhecido pela caracterização de funções definidas em certas estruturas algébricas associativas\não associativas, desenvolvida desde 2010 pelo professor Bruno Leonardo Macedo Ferreira, do Campus Guarapuava, tem gerado bons resultados em parecerias e reconhecimento.

Esta pesquisa já era muito bem desenvolvida em estruturas associativas, um exemplo é resultado devido a Martindale III em seu artigo intitulado “WHEN ARE MULTIPLICATIVE MAPPINGS ADDITIVE?” de 1969. Martindale III apresentou um resultado notável sobre a aditividade de determinados funções, que ele chamou de isomorfismos multiplicativos. Para obter esse resultado, ele introduziu certas condições que hoje são conhecidas como “Condições de Martindale”. A motivação para as investigações de Martindale III surgiu da questão de quando um isomorfismo multiplicativo é aditivo, que foi investigada por Rickart e também por Johnson. Em ambos os trabalhos, algum tipo de condição de minimalidade foi imposta ao anel subjacente.

No Theorem II de Rickart, ele provou que, em um anel que contém uma família de ideais a direita minimais que satisfazem algumas condições, qualquer função multiplicativa injetora de qualquer anel é necessariamente aditiva. A classe de anéis considerada no Teorema II de Rickart contém, como um caso especial, o anel de todos os operadores lineares limitados em um espaço de Banach de dimensão maior que um.

O artigo foi substancialmente influenciado por conversas que Rickart teve com B. J. Pettis. Em particular, seu interesse foi despertado pela conjectura de Pettis de que o teorema de Eidelheit poderia ser obtido sem a hipótese de continuidade. É importante observar que o caso de dimensão finita do teorema de Eidelheit foi obtido por Nagumo. Mais tarde, Johnson afirmou que a hipótese usada por Rickart implica a semi-simplicidade do anel em seu teorema II. Com base nisso, ele abordou o teorema de Rickart e estendeu os resultados para uma ampla classe de anéis que satisfazem o que ele chamou de "condições mínimas". Sem essas condições, ele não conseguiu encontrar resultados gerais para anéis.

Em suma, a pesquisa de Martindale III tornou-se uma área de estudo ativa no campo dos anéis associativos, e seu trabalho pioneiro concentrou a atenção na questão de saber se um isomorfismo multiplicativo é aditivo. Nesse sentido, Daif estabeleceu a derivação multiplicativa de anéis, demonstrando a natureza aditiva de uma derivação multiplicativa sob as condições de Martindale.

Prof. Bruno em apresentação pesquisa no Seminário "Álgebras de Lie e de Jordan e suas Representações" do IME-USP . Foto: Acervo pessoal.

Nos últimos 10 anos, o professor Bruno Ferreira e seus colaboradores expandiram essas investigações com o objetivo de incluir várias funções e estruturas não associativas, como as álgebras de Jordan e os anéis alternativos.

Em 2016, juntamente com o prof. João Carlos da Motta Ferreira, produziram um artigo intitulado “Additivity of n-Multiplicative Maps on Alternative Rings”, onde eles estudaram a aditividade de funções mais gerais que os isomorfismos e derivações usuais no contexto de estruturas matemáticas mais amplas como o caso dos anéis altenativos. Vale ressaltar que este é um dos trabalhos na atualidade mais bem citados do prof. Bruno Ferreira segundo o Scholar Google (https://scholar.google.com.br/citations?user=vVjpGnAAAAAJ&hl=pt-BR).

Na sequência, em 2019, em conjunto com a professora Ruth Nascimento Ferreira, escreveram um artigo chamado “Automorphisms on the alternative division ring”, onde eles estenderam o famoso resultado do matemático Hua para o caso de anéis alternativos de divisão. Nestes trabalhos eles usaram uma identidade que deve ser satisfeita pela função que foi anteriormente criada e usada pelo Prof. Bruno Ferreira em seu trabalho de 2017, a saber “Jordan elementar maps on alternative division rings”. Essa identidade tem se mostrado uma peça chave para solucionar outros tipos de problemas em álgebras alternativas. Mais recentemente, o seu aluno de doutorado Douglas Smigly da Universidade de São Paulo estudou juntamente com a Profa. Elisabete Barreiro da Universidade de Coimbra, a validade de um Teorema tipo de Hua para uma álgebra alternativa famosa conhecida como álgebra de Cayley ou a álgebra dos octonions, neste trabalho Douglas notou que a identidade que o Prof. Bruno Ferreira tinha usado em 2017, seria de suma importância para que ele solucionasse o problema que fazia parte da tese de doutorado dele, devido a isso Douglas nomeou aquela condição como “Condição de Ferreira” (Ferreira’s Condition).

Neste ano de 2023, sua aluna de doutorado Aline Andrade da Universidade Federal do ABC juntamente com a Profa Elisabete Barreiro caracterizou as *-Lie-type maps sobre as *-algebras alternativas. Sob a orientação do Prof. Bruno, ela conseguiu provar que sobre certas condições aquelas funções eram um isomorfismo que preservava uma involução, aplicando também o resultado em uma estrutura algébrica conhecida como alternative W*-factors. 

No contexto de outros tipos de álgebras não associativas, como os anéis de Jordan, por exemplo, Bruno Ferreira juntamente com o Prof. Henrique Guzzo Jr. e a Profa. Ruth Nascimento Ferreira elaboraram em 2021 um resultado sobre uma abordagem entre as estruturas multiplicativas e aditivas das funções. Esse resultado foi depois usado pela sua aluna de doutorado Gabriela Cotrim da Universidade Federal do ABC em conjunto com a profa. Ajda Fosner da University of Primorska, Eslovênia em 2022 para o estudo de aditividade de derivações de Jordan sobre as álgebras de Jordan. 

Em 2022, em conjunto com professores da Universidade Federal de Santa Catarina, os profs. Bruno Tadeu Costa e Andre Vanderlinde da Silva e a Profa. Ruth Nascimento Ferreira estudou uma função que ele intitulou “Reverse ∗-Jordan type maps” sobre as álgebras de Jordan e conseguiram aplicar o resultado nas álgebras associativas primas.

Em 2021, o Prof. Bruno foi convidado pelo Prof. Ivan Kaygorodov, que atualmente atua como pesquisador na Universidade Beira Interior em Portugal, para estudar uma nova classe de álgebras, a saber “Transposed Poisson álgebras (TPA)”. Sobre essa classe de álgebras eles publicaram um artigo onde foi estabelecido uma relação entre as ½-derivações de álgebras de Lie e as TPA. Eles aplicaram os seus resultados em álgebras bastante conhecidas na Física e na Matemática como por exemplo as álgebras de Witt e as álgebras de Virasoro.  

Prof. Bruno atualmente desenvolve e coordena um projeto de pesquisa na UTFPR chamado “Caracterização de funções sobre estruturas não associativas” nesse projeto também participam a Profa. Ruth Nascimento Ferreira e os Profs. Tanise Carnieri Pierin e Fernando Borges da Universidade Federal do Paraná. Eles estudaram sobre álgebras alternativas, uma outra função chamada de nonlinear mixed *-Jordan type derivation, eles mostraram que uma derivação não-linear do tipo ∗-Jordan é equivalente a uma ∗-derivação aditiva. Eles aplicaram seu resultado sobre as “alternative W*-álgebras”.

Prof. Bruno em apresentação pesquisa no Seminário "Álgebras de Lie e de Jordan e suas Representações" do IME-USP . Foto: Acervo pessoal.

A pesquisa do Prof. Bruno Ferreira tem resultado em diversas parcerias com colaboradores nacionais e internacionais de instituições renomadas, atualmente podemos citar algumas parcerias de colaboração com os seguintes pesquisadores: Professor Henrique Guzzo Junior (IME-USP), Professor Bruno Tadeu Costa (UFSC), Professora Ruth Nascimento Ferreira (UTFPR), Professor Tanise Carnieri Pierin (UFPR), Professor Fernando Borges (UFPR), Professor Ivan Kaygorodov (Universidade Beira Interior, Portugal e UFABC), Professora Liudmila Sabinina (Autonomous University of the State of Morelos, México), Professora Ajda Fosner (Slovenia university, Eslovênia), Professora Elisabete Barreiro (Coimbra University, Portugal), Professor Hayden Julius (Niagara University, Estados Unidos), e Professor Feng Wei (Beijing Institute of Technology, China).

Estas colaborações fizeram com que a pesquisa desenvolvida ganhasse um notável interesse da comunidade acadêmica nacional e internacional, o que fez com que o professor Bruno Ferreira recebesse alguns convites para fazer pesquisa em instituições reconhecidas internacionalmente. Um destes convites foi feito pelo renomado professor Henrique Guzzo Jr. para que ele atuasse no programa de pós graduação do IME-USP, onde ele está credenciado como orientador de doutorado daquela instituição. Outro convite foi feito pelo professor Ivan Kaygorodov também pra que ele atuasse como pesquisador orientador de doutorado na UFABC.   Está atualmente orientando quatro alunos de doutorado: Douglas Smigly (IME-USP), Daniel Kawai (IME-USP), Gabriela Cotrin (UFABC) e Aline Jackeline Andrade de Oliveira (UFABC).

Mais recentemente o Prof. Bruno Ferreira, financiado pela Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação - DIRPPG-GP, apresentou alguns resultados de sua pesquisa no Seminário "Álgebras de Lie e de Jordan e suas Representações" do IME-USP sob o título: "Problema de Herstein para álgebras alternativas" 

Além disso, as contribuições para o campo de pesquisa que o Prof. Bruno Ferreira atua fez com que ele ganhasse um prêmio da "International Research Awards on Mathematics and Optimization Methods" sobre a categoria de "Best Researcher Award" (https://maths-conferences.sciencefather.com/awards-winners/?gv_id=1807&gv_search=&mode=any).

Também no ano de 2023 ele foi considerado um dos pesquisadores mais influentes do mundo segundo “Ad Scientifc Index 2023” na categoria “Natural Sciences” (http://www.utfpr.edu.br/noticias/geral/dois-pesquisadores-da-utfpr-estao-na-lista-dos-mais-influentes-do-mundo#:~:text=Pela%20Universidade%20Tecnol%C3%B3gica%20aparecem%20os,do%20Campus%20Apucarana%2C%20Robert%20Dekker.)

Vale destacar que pela UTFPR, dentro da área de Ciências naturais/Matemática, foram citados cinco pesquisadores no qual o prof. Bruno Ferreira é o único algebrista representante na área de Matemática (https://www.adscientificindex.com/?subject=Natural+Sciences+%2F+Mathematical+Sciences&university=Universidade+Tecnol%C3%B3gica+Federal+do+Paran%C3%A1+UTFPR).